Práctico de Simetría Central

1) Construir un triángulo ABC conociendo los puntos medios de los lados; M, N y P.

2) Dado un ángulo xOy, y un punto M interior. Construir un segmento AB de modo que A pertenece a la semirrecta Ox, B pertenece a la semirrecta Oy y M punto medio del segmento AB.

3) Dados dos puntos A y O en un mismo semiplano respecto de una recta (r)

a- Construir un paralelogramo (ABCD) de centro O y B perteneciente a (r)

b-  Hallar el lugar geométrico del punto D al variar B en (r)

c- Construir un paralelogramo de la familia tal que el ángulo ADC=60°. Discuta el número de soluciones.

4) Sea una circunferencia y A un punto fijo de ella. Se consideran los diámetros variables BC. Se construyen los triángulos BCD isósceles, BC=BD con A perteneciente a CD. Hallar el lugar geométrico de D.

5) Dadas dos circunferencias de distinto radio, secantes en los puntos M y N. Trazar por M una recta que determine cuerdas congruentes en ambas circunferencias.

6) Dado el triángulo ABC isósceles, con AB=BC, M punto medio de AB, N punto medio de BC y P punto medio de AC. Demostrar que MBNP es un rombo.

7) Sea ABC un triángulo cualquiera y MC, NA y PB medianas. Sea G el baricentro. Se considera el punto R, tal que R es simétrico de G respecto de N.

a- Probar que BGCR es un paralelogramo de centro N.

b- Probar que BR=2/3MC y GR=2/3AN

8) Construir un triángulo ABC conociendo la medida de las tres medianas BP, NA y MC.

Práctico de Simetría Axial

1) Construya un triángulo equilátero ABO en sentido horario. Sea (r) la mediatriz del segmento AB y (t) la perpendicular a (r), por O.

a) Construir el triángulo EDO, simétrico del triángulo ABO respecto a (t)
b) Construir el triángulo AEF simétrico del triángulo AEO respecto a la recta AE
c) Construir el triángulo BDC simétrico del triángulo BDO respecto a la recta BD
d) Justifique que el triángulo AFE es simétrico del triángulo BCD repecto a (r)
e) Justifique la naturaleza del polígono (ABCDEF)

2) Dadas dos semirrectas paralelas Ax y Oy, siendo el ángulo OAx agudo, se construyen los rombos (ABCD) tal que B pertenece a Oy y C pertenece a Ax. Halla el lugar geométrico de D al variar B en Oy.

3) Construir un cuadrilátero (ABCD) conociendo la medida de los cuatro lados y sabiendo que la diagonal AC es bisectriz del ángulo BAD.

4) Se da una circunferencia y dos rectas (a) y (b) exteriores. Construir un cuadrado (ABCD) con B perteneciente a (b), D en la circunferencia y el segmento AC incluido en (a).

5) Dadas tres rectas secantes dos a dos, (a), (b) y (m). Construir un segmento AB con A perteneciente a (a), B perteneciente a (b) y tal que (m) sea mediatriz del segmento AB.

6) En una circunferencia se considera un punto fijo T y la tangente (t) a la circunferencia en T. Sea el punto A variable en la circunferencia. Se construyen los rombos ABCT con la diagonal BT incluida en (t). Hallar el lugar geométrico de C al variar A.

7) Dada una recta (x) y dos puntos P y Q situados en distinto semiplano respecto de (x). Hallar A perteneciente a (x) tal que la semirrecta Ax sea bisectriz del ángulo PAQ.

Circunferencia y dos rectas exteriores

Se da una circunferencia C y dos rectas (a) y (b) exteriores.

Construir un cuadrado (ABCD) con B perteneciente a (b), D perteneciente a C y el segmento AC incluido en (a).

Solución:

Protocolo	Justificación
Trazo la circunferencia C y las rectas exteriores (a) y (b)
Determino el punto D como la intersección de C con la recta b’, simétrica de b respecto de a. (2 soluciones)	B y D son simétricos respecto de (a). B pertenece a (b), entonces D pertenece a b’. D también pertenece a C, entonces D es la intersección de b’ y C.
Determino B: simétrico de D respecto de (a)
Trazo M punto medio de BD
Con centro en M y radio BM trazo una circunferencia.
Determino los puntos A y C como la intersección de la circunferencia de centro M y la recta (a).
Construyo el cuadrado (ABCD)

El cuadrilátero 1234

Construir un cuadrilátero (ABCD) sabiendo que sus lados miden 1, 2, 3 y 4 respectivamente y que la diagonal AC es bisectriz del ángulo BAD.

Protocolo de Construcción:

1) Trazar el punto A.

2) Trazar B, en la circunferencia de centro A y radio 1.

3) Trazo D' (simétrico de D respecto a AC). D' es el punto de intersección de AB (*) con la circunferencia de centro A y radio 4.

Justificación:

Como AC es bisectriz de BAD, los lados AD y AB del ángulo BAD son simétricos respecto a AC.

Por lo tanto, si D pertenece al lado AD; D' (simétrico de D respecto a AC) pertenece a su simétrico: AB.

El segmento AD mide 4 entonces AD' también mide 4 (La simetría axial conserva las distancias)

4) Trazo C, a 2 unidades de A y a 3 unidades de D'. C es por lo tanto la intersección de dos circunferencias de centros A y D' y radios 2 y 3 respectivamente.

5) Trazo AC

6) Determino D, simétrico de D' respecto de la recta AC.

7) Construyo el cuadrilátero (ABCD)