Práctico de Traslaciones

1) Sean una circunferencia C, una recta (r) exterior y un segmento AB. Hallar P y Q de modo que AB paralela a PQ, los vectores AB y PQ son iguales, P pertenece a C y Q pertenece a r.

2) Dadas tres rectas (a), (b) y (c), secantes entre sí, trazar el segmento AB que mide 2 unidades siendo que A pertenece a (a), B pertenece a (B) y AB es paralela a (c).

3) En una circunferencia C de centro O se consideran los triángulos AMB horarios con AB cuerda fija y M variable en C. Se construyen los paralelogramos AMCB horarios.

a) Determina el LG del punto C.
b) Demuestra que el ángulo MBC es constante.

Las cuatro isometrías

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Práctico de Simetría Central

1) Construir un triángulo ABC conociendo los puntos medios de los lados; M, N y P.

2) Dado un ángulo xOy, y un punto M interior. Construir un segmento AB de modo que A pertenece a la semirrecta Ox, B pertenece a la semirrecta Oy y M punto medio del segmento AB.

3) Dados dos puntos A y O en un mismo semiplano respecto de una recta (r)

a- Construir un paralelogramo (ABCD) de centro O y B perteneciente a (r)

b-  Hallar el lugar geométrico del punto D al variar B en (r)

c- Construir un paralelogramo de la familia tal que el ángulo ADC=60°. Discuta el número de soluciones.

4) Sea una circunferencia y A un punto fijo de ella. Se consideran los diámetros variables BC. Se construyen los triángulos BCD isósceles, BC=BD con A perteneciente a CD. Hallar el lugar geométrico de D.

5) Dadas dos circunferencias de distinto radio, secantes en los puntos M y N. Trazar por M una recta que determine cuerdas congruentes en ambas circunferencias.

6) Dado el triángulo ABC isósceles, con AB=BC, M punto medio de AB, N punto medio de BC y P punto medio de AC. Demostrar que MBNP es un rombo.

7) Sea ABC un triángulo cualquiera y MC, NA y PB medianas. Sea G el baricentro. Se considera el punto R, tal que R es simétrico de G respecto de N.

a- Probar que BGCR es un paralelogramo de centro N.

b- Probar que BR=2/3MC y GR=2/3AN

8) Construir un triángulo ABC conociendo la medida de las tres medianas BP, NA y MC.

Práctico de Simetría Axial

1) Construya un triángulo equilátero ABO en sentido horario. Sea (r) la mediatriz del segmento AB y (t) la perpendicular a (r), por O.

a) Construir el triángulo EDO, simétrico del triángulo ABO respecto a (t)
b) Construir el triángulo AEF simétrico del triángulo AEO respecto a la recta AE
c) Construir el triángulo BDC simétrico del triángulo BDO respecto a la recta BD
d) Justifique que el triángulo AFE es simétrico del triángulo BCD repecto a (r)
e) Justifique la naturaleza del polígono (ABCDEF)

2) Dadas dos semirrectas paralelas Ax y Oy, siendo el ángulo OAx agudo, se construyen los rombos (ABCD) tal que B pertenece a Oy y C pertenece a Ax. Halla el lugar geométrico de D al variar B en Oy.

3) Construir un cuadrilátero (ABCD) conociendo la medida de los cuatro lados y sabiendo que la diagonal AC es bisectriz del ángulo BAD.

4) Se da una circunferencia y dos rectas (a) y (b) exteriores. Construir un cuadrado (ABCD) con B perteneciente a (b), D en la circunferencia y el segmento AC incluido en (a).

5) Dadas tres rectas secantes dos a dos, (a), (b) y (m). Construir un segmento AB con A perteneciente a (a), B perteneciente a (b) y tal que (m) sea mediatriz del segmento AB.

6) En una circunferencia se considera un punto fijo T y la tangente (t) a la circunferencia en T. Sea el punto A variable en la circunferencia. Se construyen los rombos ABCT con la diagonal BT incluida en (t). Hallar el lugar geométrico de C al variar A.

7) Dada una recta (x) y dos puntos P y Q situados en distinto semiplano respecto de (x). Hallar A perteneciente a (x) tal que la semirrecta Ax sea bisectriz del ángulo PAQ.

Circunferencia y dos rectas exteriores

Se da una circunferencia C y dos rectas (a) y (b) exteriores.

Construir un cuadrado (ABCD) con B perteneciente a (b), D perteneciente a C y el segmento AC incluido en (a).

Solución:

Protocolo	Justificación
Trazo la circunferencia C y las rectas exteriores (a) y (b)
Determino el punto D como la intersección de C con la recta b’, simétrica de b respecto de a. (2 soluciones)	B y D son simétricos respecto de (a). B pertenece a (b), entonces D pertenece a b’. D también pertenece a C, entonces D es la intersección de b’ y C.
Determino B: simétrico de D respecto de (a)
Trazo M punto medio de BD
Con centro en M y radio BM trazo una circunferencia.
Determino los puntos A y C como la intersección de la circunferencia de centro M y la recta (a).
Construyo el cuadrado (ABCD)

El cuadrilátero 1234

Construir un cuadrilátero (ABCD) sabiendo que sus lados miden 1, 2, 3 y 4 respectivamente y que la diagonal AC es bisectriz del ángulo BAD.

Protocolo de Construcción:

1) Trazar el punto A.

2) Trazar B, en la circunferencia de centro A y radio 1.

3) Trazo D' (simétrico de D respecto a AC). D' es el punto de intersección de AB (*) con la circunferencia de centro A y radio 4.

Justificación:

Como AC es bisectriz de BAD, los lados AD y AB del ángulo BAD son simétricos respecto a AC.

Por lo tanto, si D pertenece al lado AD; D' (simétrico de D respecto a AC) pertenece a su simétrico: AB.

El segmento AD mide 4 entonces AD' también mide 4 (La simetría axial conserva las distancias)

4) Trazo C, a 2 unidades de A y a 3 unidades de D'. C es por lo tanto la intersección de dos circunferencias de centros A y D' y radios 2 y 3 respectivamente.

5) Trazo AC

6) Determino D, simétrico de D' respecto de la recta AC.

7) Construyo el cuadrilátero (ABCD)

Rombos

a) Traza dos semirrectas paralelas [A,x) y [O,y), siendo el ángulo OAx agudo.

b) Construye un rombo (ABCD) tal que B pertenece a [O,y) y C pertenece a [O,x)

c) Determina el Lugar Geométrico (LG) de D al variar B en [O,y)

(Extraído de "Geometría Métrica" de W. Fernández Val, pág. 71)

Primer Parcial

Lugares Geométricos y problemas de construcción

La Isla del Faro

El pescador se comunicó por radio y pidió ayuda pues se encontraba a la deriva: "estoy a unos 80 Km. del Puerto, al que veo bien enfrente. A estribor está la Isla del Faro."

El viejo Capitán Torres preguntó a su ayudante: -¿A qué distancia se encuentra la Isla del Faro? -A 120 Km. del puerto- contestó éste.

Torres dibujó algo en el mapa y dijo: -¡Ya está!, sé donde encontrarlo.

Determina en el mapa el lugar donde se encuentra el Pescador (antes que sea demasiado tarde).

Construcción de Arco Capaz

Demostramos que los ángulos BMA y BAT son iguales:

Protocolo de Construcción del Arco Capaz de segmento AB y ángulo α

Construir el segmento AB
Construir el ángulo BAT = α
Determinar el punto O como la intersección de la perpendicular a AT por A y la mediatriz de AB
Con centro en O trazar el Arco de Circunferencia de extremos A y B (en el semiplano de borde AB que no contiene a T )

Ángulos inscritos

1) Sobre una circunferencia de centro O se toman A, B, C y M que verifican las siguientes condiciones:

• el triángulo ABC es isósceles (AB=AC)
• El ángulo COA=110° y M pertenece al arco BC que pasa por A

Construye la figura y calcula los ángulos ABC y BMC.

2) C es la circunferencia de centro O circunscrita al triángulo  ABC, r es la mediatriz del segmento BC e I es el punto de intersección de r con el arco BC que no contiene a A.

• Compara los ángulos IAC e IOC
• Muestra que la recta AI contiene a la bisectriz del ángulo BAC

3) Las circunferencias C y C' son concéntricas.

Determina la relación entre la medida de los ángulos ARB y CSD

FIGURA PARA TRABAJAR EN CLASE

Prueba Escrita

Investigación - Congruencia de Triángulos

Investiga

Aplicaciones del Teorema de Thales

Trapecio

Prueba que en un trapecio los puntos medios de los lados no paralelos y los puntos medios de sus diagonales están alineados.

Dibuja un triángulo ABC...

Dibuja usando Geogebra un triángulo ABC.
Construye a B' y C' simétricos de B y C respecto de A.
Construye a A'' y C'' simétricos de A y C respecto de B.
Construye a A''' y B''' simétricos de A y B respecto de C.

Prueba que el perímetro del polígono B'C'C''A''A'''B''' es el triple del perímetro del triángulo ABC.

Prueba que las rectas ED y BC son paralelas

Thales y las sombras

Egmont Colerus, en su "Breve historia de las matemáticas", escenifica de la manera siguiente cómo Thales de Mileto, uno de los siete sabios de Grecia, explica a los sacerdotes egipcios cómo pueden medir con exactitud la altura de la Pirámide de Keops:

¿Verdadero o Falso?

Para cada una de las siguientes proposiciones, indica si son verdaderas o falsas.