Ejercicio 1) En una circunferencia C se considera un punto fijo A y uno variable B.
Se traza la tangente t a C en A y se construyen los rombos ABCD que tienen la diagonal AC contenida en t.
Hallar el lugar geométrico del vértice D al variar B en C.
Ejercicio 2) Se consideran el punto P, la recta r y la circunferencia C de la figura.
Construir el paralelogramo (APOB) con A perteneciente a r y B perteneciente a C.
Solución al Ejercicio 1:
Razono sobre la figura que se muestra al principio y que representa el problema como si ya estuviera resuelto.
Identifico los elementos presentes en la figura así como sus propiedades más relevantes.
Por ejemplo, tenemos el rombo (ABCD). ¿Qué características posee el rombo?
Se trata de un paralelogramo con los cuatro lados iguales. Sus diagonales AC y BD son perpendiculares y se cortan en M, punto medio de ellas.
I.- BD es perpendicular a la recta fija AC.
II.- Las distancias desde B y D a la recta AC son iguales: d(B, AC) = d(D, AC)
De I y II, por definición de Simetría Axial, D es el simétrico de B en la simetría axial de eje la recta AC:
D=S
AC(B)
B es un punto variable sobre la circunferencia
C, por lo que su simétrico D varía en la circunferencia
C', imagen de
C en la simetría axial de eje AC.
Limitación:
Sin embargo, cuando AB es diámetro de la circunferencia C no es posible construir el rombo (ABCD).
Por lo tanto B no puede ser el punto P de la circunferencia (ver figura) y el lugar geométrico de D es la circunferencia
C' menos el punto P', imagen de P en la simetría axial de eje AC.
Comentario:
Así como se señaló que D es simétrico de B respecto de la recta AC, también se pudo deducir que D es simétrico de B en la simetría central de centro M.
El problema en este caso es que a diferencia de la recta AC, el punto M no es un punto fijo sino que varía conjuntamente con el punto B por lo que no sirve de referencia para hallar el lugar geométrico de D.
Solución al Ejercicio 2:
Una vez más recomendamos razonar sobre una figura de análisis. Un bosquejo aproximado de los elementos del problema como si éste ya estuviera resuelto.
Recordemos que los elementos que conocemos del problema son la recta r, la circunferencia de centro O y el punto P.
Como (APOB) es un paralelogramo, por definición de Traslación, A es la imagen de B en la traslación de vector OP.
I.- Como B varía en la circunferencia C, su imagen A varía en la circunferencia C' (imagen de C en la traslación de vector OP)
II.- A pertenece a r (requerimiento del problema)
De I y II: A es el punto de intersección de r y C' (puede haber una, dos o ninguna soluciones dependiendo de si r es tangente, secante o exterior a C').
Determinado el punto A, determinamos B como su imagen en la traslación inversa de vector PO.
Construimos el paralelogramo (APOB).
